Kardinaltal Synonymer Betyder Uttal

Hur används ordet kardinaltal

1. Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element (kardinaliteten). |M| är alltså antalet element i M.
2. Ett vagt sätt att formulera innebörden av begreppet kardinaltal för en mängd (A) är att säga att dess kardinaltal är den egenskap som den delar med alla andra mängder som är ekvivalenta med A, Att två mängder, A och B, är ekvivalenta betyder att det finns en bijektiv avbildning f : A → B mellan dem.
3. Principen om välordning säger att varje mängd, A, kan associeras med en ordningsrelation, ≤, som gör paret (A, ≤) till en välordnad mängd. Eftersom varje välordnad mängd är isomorf med ett ordinaltal, och varje mängd av ordinaltal har ett minsta element, betyder detta att det finns ett minsta ordinaltal som är isomorft med paret (A, ≤), detta ordinaltal kallas kardinaltalet för mängden A.
4. Det finns inte någon mängd som innehåller samtliga kardinaltal, den så kallade Cantors paradox är en motsägelse som uppstår om man antar att det finns en mängd som innehåller samtliga kardinaltal.
5. Varje naturligt tal är alltså ett ändligt kardinaltal. Det finns också oändliga kardinaltal. Ett exempel på oändligt kardinaltal är ℵ0 (alef-noll) som är antalet element i mängden av alla naturliga tal. Om denna mängd skrivs ℕ har vi alltså att |ℕ| = ℵ0. Antalet heltal och rationella tal är lika många som antalet naturliga tal så även dessa mängder har kardinaltalet ℵ0. ℵ0 är det minsta oändliga kardinaltalet. Det går inte att bilda en mängd med oändligt många element men färre element än ℕ.
6. Observera att en delmängd av en oändlig mängd kan ha samma kardinaltal som den ursprungliga mängden. Till exempel har mängden av alla udda tal samma kardinaltal som mängden av heltal (ℵ0 i båda fallen).
7. Det finns ingen gräns för hur stora kardinaltal vi kan bilda (se Cantors sats). Exempel: Mängden ℝ av alla reella tal har kardinaltalet 2ℵ₀ som är större än ℵ0 (se även kontinuumhypotesen).
8. Alla kardinaltal som är mindre än eller lika med ℵ0 kallas uppräkneliga (detta inkluderar naturligtvis alla ändliga). Kardinaltal som är större än ℵ0 kallas ouppräkneliga.
9. Varje kardinaltal α har en entydig efterföljare som är det minsta kardinaltal som är större än α. Efter ℵ0 kommer nämligen ℵ1. Sedan följer i tur och ordning ℵ2, ℵ3, ℵ4, .... Det minsta kardinaltal som är större än alla kardinaltal på formen ℵi där i är ett naturligt tal, är ℵℵ₀, som dock oftare skrivs ℵω. Sedan följer ℵω+1, ℵω+2 etc. Närmare bestämt finns ett kardinaltal ℵα för varje ordinaltal α. Det finns därmed ingen gräns på hur stora kardinaltal man kan bilda. Detta förklaras av Cantors sats. (källa)